Énoncé
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Question
Exercice 1 :
Pour chacune des notions suivantes, donner la définition (1 point) , un exemple (0,5 point) , et un contre-exemple (0,5 point)
Ensemble des nombres entier naturel
Ensemble des nombres entier Relatifs
Multiple
Diviseur
Nombre pair
Nombre impair
Nombre premier
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Exercice 2 :
Donner la liste des 5 premiers multiples positifs ou nuls de 7 (sans justifier)
Donner la division Euclidienne de 49 par 5 (préciser le dividende, le diviseur, le quotient et le reste)
Le nombre 49 est-il un multiple de 5 ? (justifier)
Donner la liste des 5 premiers diviseurs positifs de 100 (sans justifier)
Le nombre 7 est-il un diviseur de 56 ? (justifier)
Donner tous les nombres impairs compris entre 5 et 13 inclus (sans justifier)
Donner un exemple de nombre pair d'au moins deux chiffres (justifier)
Donner un exemple de nombre premier supérieur ou égal à 20 (justifier)
\(\\ \\ \\\)
Exercice 3 :
Démontrer que la proposition suivante est vraie :
"Quels que soient les nombres entiers relatifs a et b,Si a est un divisible par 5 et b est un multiple de 5 Alors a+b est un multiple de 5 "
Démontrer que la proposition suivante est fausse :
"Quels que soient les nombres entiers relatifs a et b, Si a est pair et b est impair Alors a+b est pair "
\(\\ \\ \\\)
Exercice 4 :
Vous devez partager 3412 euros entre 23 personnes en donnant un même nombre entier d'euros à chacun et avec un reste minimum. Combien donnez-vous à chacun ? (justifier)
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Exercice 5 :
Une personne veut carreler une pièce rectangulaire de dimensions 125 centimètres par 175 centimètres. Ceci avec du carrelage carré. Les carreaux sont utilisés en entier sans découpe.
Quelles sont les mesures de côtés possibles pour le carreau de carrelage ? (justifier)
Pour avoir le moins de carreaux possibles,quelle est la mesure de côté du carreau ? et combien faut-il alors de carreaux ? (justifier)
\(\\ \\ \\\)
Exercice 6 :
Aujourd'hui l'Infirmière et la Manucure sont passées à la maison.
L'Infirmière passe tous les 21 jours.
La manucure passe tous les 15 jours.
Dans combien de jours au minimum passeront-elles en même temps ? (justifier)
Tous les combien de jours passent-elles en même temps ? (sans justification)
\(\\ \\ \\\)
Exercice 7 :
Soit la proposition :
"Quel que soit l'entier naturel \(n \geq 2\), l'entier naturel \(n(n^2−3)\) est un nombre premier "
Trouver un entier naturel n pour lequel \(n(n^2−3)\) est un nombre premier
Démontrer que la proposition est fausse
\(\\ \\ \\\)
Exercice 8 :
Démontrer que :
Quel que soit l'entier relatif \(n\), la somme de \(n\) avec les deux entiers suivants est un multiple de trois.
Solution
Le total des points est de : 12 + 9 + 8 + 3 + 8 + 5 = 45 points
Le total de vos points est \(x\) (bonus compris)
Votre note sur 20 est donc : \(\dfrac{x}{45} \times 20\)
arrondi à 20 si le résultat est supérieur à 20 (à cause du bonus)
Si votre note est strictement inférieure à 15, il faut encore s'entraîner.
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Corrigé Exercice 1 : (12 points )
Pour chacune des notions suivantes, donner la définition (1 point) , un exemple (0,5 point) , et un contre-exemple (0,5 point)
Ensemble des nombres entier naturel
L'ensemble noté N constitué des nombres entiers positifs 0 ; 1 ; 2 ; ... etc ... est appelé l'ensemble des nombres "entiers naturels"
exemple : 1 est un entier naturel
contre-exemple : -1 n'est pas un entier naturel
Ensemble des nombres entier Relatifs
L'ensemble noté Z constitué uniquement des entiers naturels ainsi que de leurs opposés est appelé l'ensemble des nombres "entiers relatifs"
exemple : 1 est un entier naturel
contre-exemple : -1 n'est pas un entier naturel
Multiple
Quels que soient les nombres entiers relatifs \(a \in N\) et \(b \in N\)
" \(a\) est un multiple de \(b\) " équivaut à "Il existe un entier relatif \(k \in N\) tel que \(a = k b\) "
exemple : 10 est un multiple de 5
contre-exemple : 10 n'est pas un multiple de 3
Diviseur
Quels que soient les nombres entiers relatifs \(a \in N\) et \(b \in N^*\)
" \(b\) est un diviseur de \(a\) " équivaut à "Il existe un entier relatif \(k \in N\) tel que \(a = k b\) "
exemple : 5 est un diviseur de 10
contre-exemple : 6 n'est pas un diviseur de 10
Nombre pair
Quel que soit le nombre entier relatif \(a \in N\)
" \(a\) est pair " équivaut à "Il existe un entier relatif \(k \in N\) tel que \(a = 2k\) "
exemple : 6 est un pair
contre-exemple : 7 n'est pas pair
Nombre impair
Quel que soit le nombre entier relatif \(a \in N\)
" \(a\) est impair " équivaut à "Il existe un entier relatif \(k \in N\) tel que \(a = 2k +1\) "
exemple : 7 est un impair
contre-exemple : 6 n'est pas impair
Nombre premier
Quel que soit le nombre entier naturel \(a \in N\)
" \(a\) est un nombre premier " équivaut à " \(a\) admet exactement deux diviseurs positifs qui sont 1 et a lui même "
exemple : 7 est premier
contre-exemple : 7 n'est pas premier
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Corrigé Exercice 2 : ( 9 points )
2 points pour la question 2 et 1 point pour chacune des autres
Donner la liste des 5 premiers multiples positifs ou nuls de 7 (sans justifier)
7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42
Donner la division Euclidienne de 49 par 5 (préciser le dividende, le diviseur, le quotient et le reste)
\(49 = 5 \times 9 + 4\) avec \(4 \leq 5\)
dividende = 49
diviseur = 5
quotient = 9
reste = 4
Le nombre 49 est-il un multiple de 5 ? (justifier)
Non, car le reste de la division Euclidienne de 49 par 5 n'est pas nul
Donner la liste des 5 premiers diviseurs positifs de 100 (sans justifier)
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10
Le nombre 7 est-il un diviseur de 56 ? (justifier)
Oui car \(\dfrac{56}{7} = 8\) est un entier naturel
Donner tous les nombres impairs compris entre 5 et 13 inclus (sans justifier)
5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13
Donner un exemple de nombre pair d'au moins deux chiffres (justifier)
12 est pair car il se termine par 2
Donner un exemple de nombre premier supérieur ou égal à 20 (justifier)
23 est premier car il n'a que deux diviseurs qui sont 1 et 23 lui même
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Corrigé Exercice 3 : ( 8 points )
5 points pour la question 1
3 points pour la question 2
Démontrer que la proposition suivante est vraie :
"Quels que soient les nombres entiers relatifs a et b ,Si a est un divisible par 5 et b est un multiple de 5 Alors \(a+b\) est un multiple de 5 "
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs quelconques
Supposons que : \(a\) est un divisible par 5 et \(b\) est un multiple de 5
Montrons que : \(a+b\) est un multiple de 5
\(a\) est un divisible par 5, soit alors \(k \in Z\) tel que \(a = 5k\)
\(b\) est un multiple de 5, soit alors \(k' \in Z\) tel que \(b = 5k'\)
On a alors : \(a+b = 5k + 5k' = 5(k+k')\)
Donc : Il existe un entier relatif \(K = k + k'\) tel que \(a+b = 5K\)
Donc : \(a+b\) est un multiple de 5
Conclusion : La proposition est vraie
Démontrer que la proposition suivante est fausse :
"Quels que soient les nombres entiers relatifs a et b ,
Si a est pair et b est impair Alors a+b est pair "
On trouve un contre-exemple :
Soient a = 12 pair et b = 13 impair
On a : a+b = 12 + 13 = 25 impair
Conclusion : La proposition est fausse
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Corrigé Exercice 4 : ( 3 points )
Vous devez partager 3412 euros entre 23 personnes en donnant un même nombre entier
d'euros à chacun et avec un reste minimum. Combien donnez-vous à chacun ? (justifier)
La division Euclidienne de 3412 par 23 donne : \(3412 = 23 \times 148 + 8\)
Si on donne 148 euros à chacun, il reste 8 euros !
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Corrigé Exercice 5 : ( 8 points )
Une personne veut carreler une pièce rectangulaire de dimensions 125 centimètres par 175 centimètres.
Ceci avec du carrelage carré. Les carreaux sont utilisés en entier sans découpe.
Quelles sont les mesures de côtés possibles pour le carreau de carrelage ? (justifier)
La mesure du carré de carrelage doit être un diviseur de 125
Donc il est dans parmi :
1 ; 5 ; 25 ; 125
La mesure du carré de carrelage doit être un diviseur de 175
Donc il est dans parmi :
1 ; 5 ; 7 ; 25 ; 35 ; 175
On constate que les diviseurs communs sont : 1 ; 5 ; 25
cette liste correspond aux mesures mesures de côtés possibles pour le carreau de carrelage.
Pour avoir le moins de carreaux possibles,
quelle est la mesure de côté du carreau ? et combien faut-il alors de carreaux ? (justifier)
Pour avoir le moins de carreaux possibles il suffit de prendre le côté de carreau le plus grand
dans la liste ci-dessus. Ce qui donne 25 cm.
Par longueur il faut : \(\dfrac{175}{25} = 7\) carreaux.
Par largeur il faut : \(\dfrac{125}{25} = 5\) carreaux.
Ce qui fait au total : \(7 \times 5 = 35\) carreaux
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Corrigé Exercice 6 : ( 5 points )
Aujourd'hui l'Infirmière et la Manucure sont passées à la maison.
L'Infirmière passe tous les 21 jours.
La manucure passe tous les 15 jours.
Dans combien de jours au minimum passeront-elles en même temps ? (justifier)
L'infirmière repassera dans : 21 ; 42 ; 63 ; 84 ; 105 ; ... jours ( les multiples de 21 )
La manucure repassera dans : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; 90 ; 105 ; ... jours ( les multiples de 15 )
On constate que le plus petit multiple commun à 21 et 15 est 105
l'Infirmière et la Manucure repasseront en même temps dans 105 jours.
Tous les combien de jours passent-elles en même temps ? (sans justification)
Tous les 105 jours
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Corrigé Exercice 7 : (5 points)
Soit la proposition :
"Quel que soit l'entier naturel \(n \geq 2\) , l'entier naturel \(n \times (n^2-3)\) est un nombre premier "
Trouver un entier naturel \(n\) pour lequel \(n \times (n^2-3)\) est un nombre premier
Pour : \(n = 2\)
On a : \(n \times (n^2-3) = 2 \times ( 2^2-3) = 2 \times 1 = 2\) qui est premier
Démontrer que la proposition est fausse
Il suffit de trouver un contre-exemple
Pour : \(n = 3\)
On a : \(n \times (n^2-3) = 3 \times ( 3^2-3) = 3 \times 6 = 18\) qui n'est pas premier
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Corrigé exercice 8 : (5 points)
La proposition est vraie.
Preuve :
Soit \(n\) un entier quelconque
La somme de \(n\) avec les deux entiers suivants est : \(n+(n+1)+(n+2)\)
or : \(n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)\) et \(n+1 \in \mathbb Z\)
donc : \(n+(n+1)+(n+2)\) est un multiple de \(3\)
donc : La somme de \(n\) avec les deux entiers suivants est un multiple de \(3\).
donc :
Quel que soit l'entier relatif \(n \in \mathbb Z\),
la somme de \(n\) avec les deux entiers qui suivent est un multiple de \(3\)
ce qui précède démontre ce qui est énoncé