Exercice
Quels que soient les entiers relatifs \(a \in \mathbb Z\) et \(b \in \mathbb Z\),
Si \(a\) est un multiple de \(b\) Alors \(b\) est un multiple de \(a\)
(justification ?)
Votre choixChoix attenduRéponse
\(~\)
Justification courte :
La proposition est fausse (pour le prouver il suffit de donner un contre-exemple) :
\(0\) est un multiple de \(3\) mais \(3\) n'est pas un multiple de \(0\)
donc la proposition est fausse
\(~\)
Justification détaillée :
Montrons que la négation de la proposition donnée est valide !
ce qui prouvera que la proposition donnée n'est pas valide.
La négation de la proposition donnée est :
Il existe des entiers relatifs \(a \in \mathbb Z\) et \(b \in \mathbb Z\),
\(a\) est un multiple de \(b\) et \(b\) n'est pas un multiple de \(a\)
\(~\)
Démontrons que :
Il existe des entiers relatifs \(a \in \mathbb Z\) et \(b \in \mathbb Z\),
\(a\) est un multiple de \(b\) et \(b\) n'est pas un multiple de \(a\)
On a :
\(0 = 3 \times 0\) et \(0 \in \mathbb Z\) donc \(0\) est un multiple de \(3\)
\(3\) n'est pas un multiple de \(0\) (démontré dans la partie cours)
donc :
Il existe des entiers relatifs \(a \in \mathbb Z\) et \(b \in \mathbb Z\),
\(a\) est un multiple de \(b\) et \(b\) n'est pas un multiple de \(a\)
ce qui précède démontre ce qui est énoncé
donc la proposition suivante n'est pas valide.
Il existe des entiers relatifs \(a \in \mathbb Z\) et \(b \in \mathbb Z\),
\(a\) est un multiple de \(b\) et \(b\) n'est pas un multiple de \(a\)