Cours : Diviseur
Introduction
La notion de "diviseur" est liée à la notion de "partage équitable", de "division".
Combien y a t-il de façons de "partager équitablement" un ensemble de 6 objets identiques ? (sans qu'il y ait de reste ! )
On fait des "paquets de 1" : il y a 6 paquets de 1 et il ne reste rien (6 est divisible par 1)
On fait des "paquets de 2 " : il y a 3 paquets de 2 et il ne reste rien (6 est divisible par 2)
On fait des "paquets de 3 " : il y a 2 paquets de 3 et il ne reste rien (6 est divisible par 3)
On fait des "paquets de 4 " : il y a 1 paquet de 4 et il reste 2 (6 n'est pas divisible par 4)
On fait des "paquets de 5 " : il y a 1 paquet de 5 et il reste 1 (6 n'est pas divisible par 5)
On fait des "paquets de 6 " : il y a 1 paquet de 6 et il ne reste rien (6 est divisible par 6)
L'ensemble des diviseurs de 6 est donc : {1 ; 2 ; 3 ; 6}; 6 a quatre diviseurs
On "a l'intuition" qu'il y a un lien avec la division Euclidienne ! Visualisation : (ceci)
On "a l'intuition" qu'il y a un lien avec la notion de Multiple.
Pour voir l'ensemble des diviseurs positifs d'un entier positif strict (ceci)
Pour voir le nombre de diviseurs positifs d'un entier positif strict (ceci)
On conçoit que l'ensemble des multiples d'un nombre entier non nul est infini, mais celui de ses diviseurs est fini !
Par exemple : l'ensemble des diviseurs de 12 est {-12;-6;-4;-3 ;-2 ;-1 ; 1;2;3;4;6;12}. C'est un ensemble fini.
Pour pouvoir modéliser et résoudre des problèmes courants, il est nécessaire de donner une définition précise (non ambigu) de la notion de "diviseur".
Il est important de maîtriser le mot et la notion de diviseur qui seront utilisés dans des résolutions de problèmes
la définition qui suit est là pour préciser les choses
Définition : Diviseur
Quels que soient les nombres entiers relatifs \(a \in \mathbb Z\) et \(b \in \mathbb Z\)
\(b\) est un diviseur de \(a\)
équivaut à
Il existe un entier relatif \(k \in \mathbb Z\) tel que \(a = k \times b\)
Exemple :
2 est un diviseur de 6 car 6=2×3 \(~~~\) (a = 6, b = 2 , k = 3)
0 est un diviseur de 0 car 0=0×0 \(~~~\) (a = 0, b = 0 , k = 0)
3 est un diviseur de 0 car 0=3×0 \(~~~\) (a = 0, b = 3 , k = 0)
-3 est un diviseur de 21 car 21=-3×7 \(~~~\) (21 = 6, b = -3 , k = 7)
Exemple : contre-exemple
Montrons que : 7 n'est pas un diviseur de 117
Il suffit de montrer que : 117 n'est pas un multiple de 7
\(\dfrac{117}{7} \simeq 16,71\) et \(16,71 \not \in Z\) (propriété)
donc : 117 n'est pas un multiple de 7
donc : 7 n'est pas un diviseur de 117
Remarque : (admis)
Il y a un lien entre "Diviseur" et "Multiple"
les propositions suivantes sont équivalentes quels que soient les entiers relatifs a et b
"a est un multiple de b"
"b est un diviseur de a"
"b divise a" utilisée si b n'est pas égal à 0
"a est divisible par b" utilisée si b n'est pas égal à 0
Les propriétés vues dans la partie "multiple" peuvent donc êtres utilisées pour montrer qu'un entier relatif quelconque \(a\) est (ou n'est pas) un diviseur d'un entier relatif quelconque \(b\), d'après ce qui suit.
le "prédicat" : "\(a\) est un multiple de \(b\)"
est équivalent au "prédicat" : "\(b\) est un diviseur de \(a\)"
(un prédicat est vrai ou faux selon les valeurs des variables qu'il contient)
Par exemple, si on montre que 17 est un diviseur de 51 alors on montre du même coup que 51 est un multiple 17 (et réciproquement)
Pour prouver que \(b\) est un diviseur de \(a\), on peut utiliser les méthodes vues pour montrer que \(a\) est un multiple de \(b\)
\(0\) admet une infinité de diviseurs, l'ensemble des diviseurs de \(0\) est \(\mathbb Z\) en entier.
en particulier, \(0\) est un diviseur de \(0\),
Tout entier \(n\) est diviseur de lui même
Tout entier \(n\) admet \(1\), \(-1\), \(n\) et \(-n\) pour diviseurs (ce qui fait au moins deux diviseurs distincts, quatre si \(n \neq 1\) et \(n \neq -1\))
Tout entier non nul \(n\) admet un ensemble finit de diviseurs tous "compris entre" \(-n\) et \(n\)
Il existe des entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que \(a\) est un diviseur de \(b\) et \(b\) est un diviseur de \(a\) (en même temps)
\(-3\) est un diviseur de \(3\) et \(3\) est un diviseur de \(-3\)
Pour tout entier \(a\), \(a\) est un diviseur de \(b\) si et seulement si \(a\) est un diviseur de \(-b\)
Pour tout entier \(a\), \(a\) est un diviseur de \(b\) si et seulement si \(-a\) est un diviseur de \(b\)
Tout nombre entier non nul \(n\) admet un diviseur qui lui est strictement supérieur
\(4\) est un diviseur de \(-4\) et \(-4 < 4\)
Pour les entiers naturels uniquement :
Quels que soient les entiers naturels \(a\) et \(b\),
\(a\) est diviseur de \(b\) et \(b\) est diviseur de \(a\)
si et seulement si \(a = b\)
Quels que soient les entiers naturels \(a\) et \(b\),
Si \(b\) est diviseur de \(a\) alors \(1 \leq b \leq a\)
Quel que soit l'entier naturel \(a\),
Si \(b\) est un diviseur positif de \(a\) Alors \(\dfrac{a}{b}\) est un diviseur de \(a\)
(\(\dfrac{a}{b}\) est le quotient dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\))
Complément : ("0 est un diviseur de 0" ?) (cliquer)
Que dire de la proposition : "0 est un diviseur de 0" ?
D'après la définition précédente, la proposition ci-dessus justifiée,
est "vraie" dans le contexte du cours d'arithmétique
Mais, que vaut le "résultat" de la division de 0 par 0 ?
La propriété de la division euclidienne (vers) ne dit rien du "quotient" de 0 par 0, elle n'est pas applicable car ici \(b = 0\)
Dans un "autre contexte" on dit que "la division par 0" est "impossible".
Comme en Français, on utilise les mêmes mots pour des contextes différents, sans que cela ne nous "choque". En Mathématiques il en est de même, le contexte est fixé par "les définitions", et, les mots employés dépendent de ce contexte.
Il n'est donc pas "contradictoire" que "0 est un diviseur de 0" et que "la division par 0" est "impossible", elles ne sont pas utilisées dans le même "contexte".
Attention : Propriété (rappel)
Propriété (Critères de divisibilité)
Quel que soit l'entier relatif n
n est "divisible par 2 " si et seulement si "son dernier chiffre est 0;2;4;6 ou 8"
(comme : 220 ; 342 )
n est "divisible par 3 " si et seulement si "la somme de ses chiffres est divisible par 3"
(comme : 111 ; 321 )
n est "divisible par 5 " si et seulement si "son dernier chiffre est 0 ou 5"
(comme : 210 ; 145 )
n est "divisible par 9 " si et seulement si "la somme de ses chiffres est divisible par 9"
(comme : 801 ; 3123450 )
n est "divisible par 10 " si et seulement si "son dernier chiffre est 0"
(comme : 100 ; 1050 )
Syntaxe : Une notation pour "b divise a"
Il existe une "notation mathématique" (une règle de syntaxe) pour écrire que "b divise a", on utilise le symbole \(|\) (un trait vertical ) qui se lit "divise", ainsi : "b divise a" s'écrit : \(b | a\)
Les propositions suivantes sont vraies
\(1 | 10\)
\(2 | 408\)
Les propositions suivantes sont fausses
\(10 | 1\)
\(408 | 2\)
La "phrase" suivante a une valeur de vérité "indéterminée", elle est vraie ou fausse selon les valeurs de la "variable" \(a\) dont on sait uniquement que c'est un nombre entier.
\(a | 100\)
Si \(a = 2\) alors la "phrase" est vraie
Si \(a = 200\) alors la "phrase" est fausse
Une "phrase" du type \(p(a)\) (telle que la précédente) dont la valeur de vérité dépend uniquement de la valeur d'une variable qui appartient à un ensemble donné est appelé un "prédicat" à une variable.
Par exemple
\(n \geq 2\)
\(a\) est pair
\(b\) est premier
Attention : Définition d'une partie d'un ensemble en compréhension.
Il est possible ( très utile et usuel ) de définir une partie d'un ensemble "en compréhension", car il n'est pas toujours possible de la définir en extension (sous la forme d'une liste d'élément entre accolades) par exemple quand l'ensemble est infini. Pour cela, on donne un un prédicat qui est vrai pour tous et uniquement les éléments de cette partie comme dans les exemples ci dessous :
\(E = \{z \in \mathbb Z : 2 | z \}\) est "l'ensemble des entiers relatifs z, tels que 2 divise z (les deux points " :" se lisent "tel que")
\(E = \{z \in \mathbb Z : z \geq 0 \}\) est "l'ensemble des entiers relatifs z, tels que z est positif ou nul ( c'est en fait \(N\))
Les définitions précédentes sont de la forme : \(E = \{ x \in Z : p(z) \}\) où \(p(z)\) est un prédicat de variable \(z\)