Cours : Ensemble des nombres Entiers Relatifs
Texte légal : Introduction "Historique"
Les "objets Mathématiques" que l'on va considérer dans cette partie sont essentiellement les "nombres entiers relatifs" : \(\{ ... ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ;~ 0;~ 1;~ 2;~ 3;~ 4;~ 5;~ ... \}\)
Mais !
Définition : Définition des entiers Relatifs et de l'opposée d'un entier naturel.
Il existe un ensemble appelé ensemble des entiers relatifs noté \(\mathbb Z\) pour lequel les propositions suivantes sont valides.
L'ensemble des entiers relatifs contient chacun des entiers naturels : \(0, 1, 2, 3, ...\)
Quel que soit l'entier relatif \(z\), il existe un unique entier relatif noté \(-z\) et appelé l'opposé de \(z\)
L'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres "entiers relatifs" est constitué uniquement des entiers naturels ainsi que de leurs opposés.
On note : \(\mathbb Z=\{ ... ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; ~0 ;~ 1 ;~ 2 ;~ 3 ;~ 4 ;~ 5 ;~ ... \}\)
et : \(\mathbb Z^*=\{ ... ; -5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; ~1 ;~ 2;~ 3;~4;~5;~ .... \}\),
\(\mathbb Z\) "étoile" est \(\mathbb Z\) "privé" de 0.
Représentation sur un axe gradué et orienté vers la droite :
On représente usuellement les entiers relatifs sur une droite orientée vers la droite. La droite est munie d'un point appelé point "origine" et usuellement nommé \(O\). On choisit sur la demi-droite un point "unité" usuellement nommé \(I\). Au point \(0\) on associe le nombre entier \(0\), au point \(I\) on associe le nombre \(1\), et, les nombres entiers relatifs sont régulièrement espacée d'une unité dans l'ordre naturel qui les caractérise. Il y a donc des "espaces vides entre les entiers relatifs.
\(\mathbb N \subset \mathbb Z\) signifie que "\(\mathbb N\) est inclu dans \(\mathbb Z\)" ou encore "\(\mathbb N\) est un sous-ensemble de \(\mathbb Z\)"
Exemple :
\(\sqrt{9} \in \mathbb Z\) car \(\sqrt{9} = 3\) et \(3 \in \mathbb N\)
\(\dfrac{-12}{3} \in \mathbb Z\) car \(\dfrac{-12}{3} = -4\) est l'opposé de \(4\)
Exemple : non-exemple (admis)
\(-3 \not \in \mathbb {Z}\)
\(0,5 \not \in \mathbb {Z}\)
\(\dfrac{1}{3} \not \in \mathbb {Z}\)
\(\sqrt{2} \not \in \mathbb {Z}\)
\(\pi \not \in \mathbb {Z}\)
Remarque :
\(-1\) a pour successeur \(0\) dans \(\mathbb Z\)
Autrement dit : \(0\) a \(-1\) pour prédécesseur dans \(\mathbb Z\).
Chaque entier relatif a donc un unique successeur et un unique prédécesseur.
Définition : Définition : Inclusion d'un ensemble dans un autre
Que signifie qu'un ensemble est inclus dans un autre ?
Quels que soient les ensembles \(E\) et \(F\),
on dit que : \(E\) est inclus dans \(F\) (noté \(E \subset F\))
si et seulement si, Quel que soit \(x\), \(x \in E \Rightarrow x \in F\)
(tout élément de \(E\) est dans \(F\))
(Le symbole "\(\subset \)" se lit "est inclus dans" et c'est une relation uniquement entre deux ensembles. C'est à dire que de part et d'autre du symbole \(\subset\) il ne peut y avoir que des symboles représentant des ensembles)
Exemple :
\(A = \{a, b, c, ..., z\}\) est l'ensemble des lettres de l'alphabet latin
\(E =\{a,b,c\}\)
\(F = \{a,b,c,d,e\}\)
On a :
\(E \subset F\)
\(~~~\)En effet :
\(~~~\)Soit \(x\) quelconque
\(~~~~~~\)Supposons \(x \in E\)
\(~~~~~~\)\(x =a\) ou \(x =b\) ou \(x =c\)
\(~~~~~~\)\(x =a\) ou \(x =b\) ou \(x =c\) ou \(x =d\) ou \(x =e\) \(~~\)(introduction du ou)
\(~~~~~\)\(x \in F\)
\(~~\)Quel que soit \(x\), \(x \in E ~~ \Rightarrow ~~x \in F\)
\(~~~\)\(E \subset F\)
\(~~\)
\(F \subset A\)
\(E \subset E\)
\(E \subset A\)
\(~~\)
Quel que soit le nombre entier \(x\), Si ce nombre \(x\) est un entier naturel Alors \(x\) est un entier relatif.
(Quel que soit \(x\), \(x \in \mathbb N ~\Rightarrow x \in \mathbb Z~\))
L'ensemble des entiers naturels est "inclus" dans l'ensemble des entiers relatifs et on note : \(\mathbb N \subset \mathbb Z\)
Définition : Définition : non-inclusion d'un ensemble dans un autre
Que signifie qu'un ensemble n'est pas inclus dans un autre ?
Quels que soient les ensembles \(E\) et \(F\),
on dit que : \(E\) n'est pas inclus dans \(F\) (noté \(E \not \subset F\))
si et seulement si, Il existe \(x\), \(x \in E ~et~ x \not \in F\)
(il existe un élément de \(E\) qui n'est pas dans \(F\))
Exemple :
\(A = \{a, b, c, ..., z\}\) est l'ensemble des lettres de l'alphabet latin
\(E =\{a,b,c\}\)
\(F = \{a,b,c,d,e\}\)
\(~~~\)\(F \not \subset E\) car \(d \in F\) et \(d \not \in E\)
\(~~~\)\(A \not \subset F\) car \(z \in A\) et \(z \not \in F\)
\(\mathbb Z \not \subset \mathbb N\)
Comme le prouve le "contre-exemple" : \(-3\) est un entier relatif et \(-3\) n'est pas un entier naturel.
On dit que l'ensemble des entiers relatif n'est pas "inclus" dans l'ensemble des entiers naturels
Remarque :
Attention aux erreurs de syntaxe comme :
\(3 \subset \mathbb Z\) n'est pas acceptable mais \(3 \in \mathbb Z\) l'est
\(\mathbb N \in \mathbb Z\) n'est pas acceptable mais \(\mathbb N \subset \mathbb Z\) l'est
Définition : Égalité de deux ensembles
Comment démontrer que deux ensembles sont égaux ?
Quels que soient les ensembles \(E\) et \(F\),
\(E = F~~~\) équivaut à \(~~~\) Quel que soit \(x\), \(x \in E \Leftrightarrow x \in F\)
Autrement dit : (\(\forall\) se lit "quel que soit")
\(E = F\) équivaut à \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \forall x, x \in E \Rightarrow x \in F \\ et \\ \forall x, x \in F \Rightarrow x \in E \end{array} \right.\)
Autrement dit
\(E = F~~~\) si et seulement si \(~~~E \subset F\) et \(F \subset E\)
Exemple général :
\(A = \{a, b, c, ..., z\}\) est l'ensemble des lettres de l'alphabet latin
\(E =\{a,b,c\}\)
\(F = \{c,b,a\}\)
\(E = F\)
\(E \neq A\) car \(A \not \subset E\)