Arithmétique

Il existe un ensemble appelé ensemble des entiers naturels noté \(\mathbb N\) pour lequel les propositions suivantes sont valides.

1. Il existe un entier naturel que l'on note usuellement \(0\).

2. Quel que soit l'entier naturel \(n\), \(n\) admet un unique successeur différent de \(n\) qui est aussi un entier naturel.

   (L'unique successeur de \(n\) est noté \(n+1\) et on dit aussi que \(n\) est l'unique prédécesseur de \(n+1\))

3. \(0\) n'est le successeur d'aucun entier naturel

   (Quel que soit l'entier naturel \(n\), \(n\) n'est pas le successeur de \(0\))

   (Quel que soit l'entier naturel \(n\), \(n+1 \neq 0\))

4. Deux entiers naturels quelconques ont le même successeur si et seulement si ils sont égaux

   (Quels que soient les entiers naturels \(n\) et \(p\), \(n = p ~\Leftrightarrow~ n+1 = p+1\))

5. Si on utilise le système de numération de base \(10\) pour représenter les entiers naturels, on note  :

   \(\mathbb N = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... \}\)

   \(\mathbb N^* = \{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... \}\)\(~~\)\(\mathbb N\) étoile est \(\mathbb N\) privé de \(0\)

6. Représentation sur un demi-axe gradué et orienté vers la droite  :

   On représente usuellement les entiers naturels sur une demi-droite orientée vers la droite. L'extrémité de la demi-droite est appelé point "origine" et usuellement nommé \(O\). On choisit sur la demi-droite un point "unité" usuellement nommé \(I\). Au point \(0\) on associe le nombre entier \(0\), au point \(I\) on associe le point \(I\), et, la suite des nombres entiers sont régulièrement espacée d'une unité dans l'ordre naturel de succession qui les caractérise. Il y a donc des "espaces vides entre les entiers naturels.

   

• Définition "en extension" d'un ensemble  :

  Définir un ensemble en extension équivaut à utiliser les accolades { et } pour donner la "liste" complète des éléments de l'ensemble.

  par exemple \(E = \{0 ;1 ;2 ;3 \}\) est l'ensemble constitué des entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et 3 et uniquement de ceux-ci.

  Quel que soit \(x\), \(x \in \{0 ;1 ;2 ;3 \}~~~\) équivaut à \(~~~x=0\) ou \(x =1\) ou \(x =2\) ou \(x =3\)

  Peu importe l'ordre des éléments entre accolades, \(\{0 ;1 ;2 ;3 \} = \{ 1 ; 2 ; 0 ; 3 \}\)

  \(% On dit que l'on a défini l'ensemble "en extension"\)

• On utilise le symbole \(\in\) "appartient" pour écrire qu'un "élément appartient à un ensemble \(E\)"

  \(0 \in E\) signifie que " \(0\) appartient à E"

• On utilise le symbole \(\not \in\) "n'appartient pas" pour écrire "qu'un élément n'appartient pas à un ensemble "

  \(4 \not \in E\) signifie que " 4 n'appartient pas à E"

• Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément, il est appelé "l'ensemble vide" et est noté \(\emptyset\) ou encore \(\{\}\).